Rechner für zweigliedrige Roboterarme: Inverse Kinematik & Drehmoment

Die kinematische Konvention folgt Ben-Ari und Mondada, Elements of Robotics, §16.1–16.2, S. 269–273 der Druckausgabe (beigefügte PDF, S. 273–277). Die Schulter liegt im Ursprung; +x zeigt nach rechts, +y nach oben, und beide Gelenkkoordinaten sind gegen den Uhrzeigersinn positiv. Die absolute Orientierung von Glied 2 ist $q_1+q_2$.

Für die inverse Kinematik liefert der Kosinussatz $C_2=(x^2+y^2-L_1^2-L_2^2)/(2L_1L_2)$. Bei direkter Verwendung von $arccos C_2$ und $L_1+L_2cos q_2$ gehen nahe dem Ursprung bei gleich langen, gefalteten Gliedern signifikante Stellen verloren. Die Implementierung verwendet daher die algebraisch äquivalente, faktorisierte Halbwinkelkonstruktion, die hier aus demselben Dreieck hergeleitet wird:
$h_f=sqrt{(r_{max}-r)(r_{max}+r)},qquad h_o=sqrt{(r-r_{min})(r+r_{min})},$
$q_2=2operatorname{atan2}(h_f,h_o),qquad delta=operatorname{atan2}!left(h_fh_o,r^2+(L_1-L_2)r_{max}right),$
$q_{1,mathrm{down}}=operatorname{atan2}(y,x)-delta,qquad q_{1,mathrm{up}}=operatorname{atan2}(y,x)+delta.$
Der Ellenbogenwinkel des oberen Lösungszweigs ist $-q_2$. „Unten“ bezeichnet den Lösungszweig mit positivem $q_2$. Die beiden Quadratwurzeln in jedem Faktor werden getrennt ausgewertet; Beträge verhindern, dass Rundungsfehler oder zurückgewiesene Eingaben außerhalb des Arbeitsraums komplexe Werte erzeugen. Die separate Radiusbedingung weist unerreichbare Ziele weiterhin zurück. $C_2$ bleibt eine erläuternde Größe und wird nicht zur Winkelberechnung verwendet.

Schulterwinkel können sich um eine volle Umdrehung unterscheiden, ohne die Armstellung zu verändern. Nur am exakten Ursprung bei gleich langen, vollständig gefalteten Gliedern wird $q_1=0$ als beliebiger Repräsentant verwendet; für nahe gelegene Zielpositionen außerhalb des Ursprungs gilt diese Vereinbarung nicht. Von null verschiedene Zielabstände der inversen Kinematik unter $10^{-10}$ der Gesamtreichweite werden zurückgewiesen, da die Darstellung der Winkel in Grad andernfalls die relative Genauigkeit begrenzen würde. Die Radiusbedingung lautet $|L_1-L_2|le rle L_1+L_2$, mit einer relativen Rundungstoleranz von $10^{-12}$ an den Arbeitsraumgrenzen.

Die statischen Momente werden hier aus dem Momentengleichgewicht / der Ableitung der potenziellen Energie hergeleitet, im Einklang mit Mohammadijoo, Gravity Compensation, §9 und Aufgabe 5. Mit $c_i=f_iL_i$ gilt:

Dies sind die Haltemomente der Antriebe; sie wirken den generalisierten Schwerkraftmomenten entgegen. Die maximalen Momentbeträge im unbeschränkten Arbeitsraum sind $A+B$ und $B$. Beim gewählten Ellenbogenwinkel beträgt der Hüllwert des Schultermoments $sqrt{A^2+B^2+2ABcos q_2}$. Die Jacobi-Determinante für Winkel im Bogenmaß ist $L_1L_2sin q_2$; der normierte Singularitätsindikator ist $|sin q_2|$.

Zwei starre, massebehaftete Glieder mit idealen Drehgelenken in einer vertikalen Ebene. Die Schwerkraft wirkt in −y-Richtung. Jeder Schwerpunkt liegt auf der Mittellinie seines Glieds zwischen dessen Gelenken; 0,5 entspricht einem homogenen Glied. Werkzeug und Nutzlast bilden eine Punktmasse am Ende von Glied 2. Die Gliedmassen dürfen angebaute Bauteile einschließen, sofern Gesamtmasse und gemeinsamer Schwerpunkt korrekt abgebildet werden. Es gibt keine Gelenkbegrenzungen oder Hindernisse. Beide Gelenkmomente werden am Gelenkabtrieb bestimmt; ein Getriebemodell ist nicht enthalten. Die Animation durchläuft geometrisch eine Folge statischer Gleichgewichtslagen und ist keine dynamische Simulation. Die Momentengleichungen und Arbeitsraumgrenzen werden hier hergeleitet; es werden keine Panda-Parameter in ein ebenes Modell eingesetzt.

Geeignet für ebene Reichweitenuntersuchungen und ausschließlich schwerkraftbedingte Gelenkbelastungen, mit positiven Gliedlängen, nichtnegativen Massen und nichtnegativer Schwerebeschleunigung sowie relativen Schwerpunktlagen zwischen 0 und 1. Die Warnung innerhalb von etwa 1,7° um eine kollineare Stellung verwendet $|sin q_2|<0.03$ als didaktischen Indikator, nicht als Grenzwert einer Robotersteuerung. Unerreichbare Ziele werden zurückgewiesen und nicht auf den Arbeitsraum projiziert. Am exakten Ursprung bei gleich langen, vollständig gefalteten Gliedern ist der inverse Schulterwinkel nicht eindeutig. Ein inverses Ziel außerhalb des Ursprungs muss mindestens 10⁻¹⁰ der Gesamtreichweite von der Schulter entfernt sein; kleinere Abstände werden mit einer Meldung zurückgewiesen, statt stillschweigend die Ursprungskonvention anzuwenden.

Die angezeigten maximalen Momentbeträge gelten für eine Geometrie ohne Gelenkbegrenzungen und müssen nicht bei einer vorgegebenen Zielposition auftreten. Vorzeichenbehaftete Momentanteile können sich in bestimmten Stellungen aufheben. Reibung, Beschleunigung, Corioliseffekte, Motor- und Getriebeträgheit, Wirkungsgrad, Umkehrspiel, Nachgiebigkeit, Werkzeugversätze, Kabelkräfte, Kontaktkräfte, thermische Beanspruchung im Betrieb und Sicherheitsreserven liegen außerhalb dieses Modells. Für die Motorauswahl müssen diese zusätzlichen Belastungen und die vom Hersteller angegebenen Dauermomentgrenzen berücksichtigt werden.

Gaz et al. (2019), DOI 10.1109/LRA.2019.2931248, behandelt die Identifikation des vollständigen Modells des Franka Panda mit sieben Gelenken (beigefügte PDF, S. 2–3 und 6–7); die Veröffentlichung dient als weiterführende Literatur für eine spätere Dynamikberechnung. Dieses Werkzeug berechnet keine Panda-Dynamik. Zeichnungen behalten ihre SI-Beschriftungen; numerische Eingaben, Ergebniskarten, Diagramme und Tabellen verwenden die Einheiteneinstellungen des Katalogs.