Sandwärmespeicher unter der Bodenplatte: Speicherung, Verluste und Fußbodentemperatur

Die axialsymmetrische Wärmeleitungsgleichung wird in Sand, Beton, Dämmung und umgebendem Erdreich gelöst:

Die zellzentrierte Finite-Volumen-Methode verwendet ringförmige Kontrollvolumina. Die Wärmeleitwerte über gemeinsame Zellflächen ergeben sich aus den Wärmewiderständen der beiden Zellhälften. Jede Materialgrenzfläche fällt mit einer Zellfläche zusammen. Das implizite Euler-Verfahren integriert das gekoppelte System über ein Jahr mit 365 Tagen. Das Hauptnetz umfasst standardmäßig 306 Zellen: 17 in radialer und 18 in vertikaler Richtung, darunter zwei Betonschichten und jeweils eine Schicht über die Dicke jedes dünnen Dämmbereichs.

Die äußere Erdreichoberfläche folgt einer einzelnen Jahresharmonischen. Für die Anfangstemperatur des Erdreichs und die äußeren radialen und unteren Randbedingungen wird die gedämpfte, phasenverschobene Lösung nach Kusuda–Achenbach verwendet:

Grundlage: Kusuda and Achenbach (1965), NBS Report 8972, PDF pp. 28–29, equations (2)–(5). Die Phasenverschiebung mit zunehmender Tiefe bleibt erhalten. Der obere Betonrand ist über den Wärmedurchlasswiderstand des Bodenbelags und den kombinierten Wärmeübergangskoeffizienten für Strahlung und Konvektion an den Raum mit fester Temperatur gekoppelt. Die angegebene Fußbodentemperatur bezieht sich auf die raumseitige Oberfläche des Bodenbelags.

Aufgrund der Linearität können der unbeheizte Referenzzustand und die durch die Heizung verursachte Temperaturerhöhung getrennt mit demselben Operator zeitlich integriert werden. Ihre Summe ergibt die tatsächlichen Temperaturen. Für die der PV-Beladung zurechenbare gespeicherte Wärme und die Wärmeübertragungen über die Bilanzgrenze wird ausschließlich die Temperaturerhöhung verwendet. Die Netto-Wärmeströme durch Sohle und Rand werden an den äußeren Dämmflächen ausgewertet; der freiliegende Dämmring wird als Randverlust erfasst. Die implizit am Zeitschrittende ausgewerteten Wärmeströme stellen sicher, dass die Wärmezufuhr gleich der Summe aus Wärmeübertragung zum Raum, durch die Sohle und durch den Rand sowie der Energieänderung im Speicheraufbau ist. Das Erdreich außerhalb der Dämmung liegt außerhalb dieser Bilanzgrenze.

Die Januarmittelwerte umfassen den Zeitraum vom 1. Januar bis zum 1. Februar; die gespeicherte Wärme wird am 15. Januar ausgewertet. Oktober–März umfasst den Zeitraum vom 1. Oktober bis zum 1. April. Der Zeitschritt der Hauptrechnung wird bei Bedarf geringfügig angepasst, damit das Jahr exakt in ganze Zeitschritte zerfällt. Die beiden Variantenreihen mit jeweils drei Bauvarianten wiederholen dasselbe zweidimensionale Modell auf einem gröberen Netz. Unabhängige Lösungen mit Q1-Galerkin-Finite-Elementen und Crank–Nicolson-Zeitintegration in SciPy verifizieren zwei Jahresfälle und einen Regressionstest mit nahezu verschwindendem Wärmestrom. Eine tabellierte Erdreichstemperatur des NBS prüft die jahreszeitliche Randbedingung.

• Flächengleiche kreisförmige Grundfläche mit Axialsymmetrie; keine Wärmebrücken durch Wände, Fundamentstreifen oder Leitungsdurchführungen.
• Konstante Stoffwerte je Material und idealer thermischer Kontakt. Die volumetrische Wärmekapazität der Dämmung wird beispielhaft mit 0,06 MJ/(m³ K) angesetzt.
• Feste Raumtemperatur und vorgegebener effektiver Wärmeübergangskoeffizient; es wird keine Korrelation auf Basis von Luftstoffwerten verwendet.
• Sand und Dämmung haben anfangs die eingegebene Anfangstemperatur; der Beton beginnt bei Raumtemperatur. Das umgebende Erdreich beginnt mit dem jahreszeitlichen Temperaturprofil für Juni.
• Konstanter mittlerer täglicher Stromüberschuss während des gewählten Sommerzeitraums; die Heizung ist über die Grundfläche in der Tiefenzone von 60–80 % gleichmäßig verteilt. Keine aktive Wärmeentnahme im Winter und keine temperaturabhängige Beladungsregelung.
• Das Ergebnis für die Speicherkapazität ist $m c_pDelta T$, unabhängig von Verlusten und davon, ob dieser Temperaturhub durch die Beladung tatsächlich erreicht wird.

Für Untersuchungen zur Wärmeleitung bei niedrigen Temperaturen verwenden, wobei der Sand normalerweise unter 80 °C bleiben sollte. Prüfen Sie Dämmung, Bodenbeläge, Beton, Entwässerung und elektrische Regelung für die vorgesehenen Temperaturen und Belastungen. Manteltemperaturen der Heizelemente und lokale Überhitzungen werden nicht aufgelöst. Die Fußbodenergebnisse sind Flächenmittelwerte; der angegebene Höchstwert ist das Maximum dieses Mittelwerts über das Jahr.

Feuchte, Gefrier- und Tauvorgänge sowie Grundwasser können sowohl die Speicherung als auch die Verluste ins Erdreich erheblich verändern. Passen Sie die jahreszeitlichen Eingaben an die Erdreichoberfläche unter Berücksichtigung von Schnee und Verschattung an, statt unmittelbar die Lufttemperatur zu verwenden. Die Standardwerte dienen der Veranschaulichung und sind keine Klimamesswerte aus Wisconsin. Ein Kreis hat einen geringeren Umfang als viele reale Bodenplatten. Langgestreckte oder unregelmäßige Grundflächen erfordern daher ein dreidimensionales oder auf den konkreten Grundriss abgestimmtes Modell.

Abgebildet wird der erste Zyklus von Juni bis Mai, kein durch wiederholte Beladung erreichter eingeschwungener Jahreszustand. Der Raum ist ein Wärmereservoir mit vorgegebener Temperatur: Ein positiver zusätzlicher PV-Wärmebeitrag kann einen vermiedenen Wärmeverlust vom Raum ins Erdreich bedeuten, ohne dass der Fußboden wärmer als der Raum ist. Die jährliche Wärmeübertragung zum Raum umfasst auch unerwünschte sommerliche Wärmeabgabe und darf weder als jährlich nutzbare Heizwärme noch als Wirkungsgrad einer kommerziellen Batterie interpretiert werden.

Damit die Auswertung mit Standardeinstellungen etwa 3 s dauert, verwendet die Hauptrechnung 306 Zellen und tägliche Zeitschritte; die Variantenrechnungen verwenden 132 Zellen und den gewählten Zeitschritt. Die mit dem gröberen Netz berechneten Energiemengen können um mehrere Prozent abweichen: Übertragen Sie eine Variante in die Haupteingaben und verfeinern Sie die Rechnung. Der standardmäßige tägliche Zeitschritt überschätzt die im Januar verbliebene PV-Wärme gegenüber den unabhängigen, fein aufgelösten FEM-Fällen um etwa 5 %; die mittleren Fußbodentemperaturen weichen in diesen Fällen um weniger als 0,03 °C ab. Netz- und Zeitschrittprüfungen quantifizieren die Konvergenz der verbliebenen Energie. Separate Prüfungen des Januar-Wärmestroms verlangen im Regressionstest mit nahezu verschwindendem Wärmestrom absolute Änderungen unter 5 W bei Netzverfeinerung und unter 1 W bei Zeitschrittverfeinerung. Der Verifikationsvektor enthält eine feste Normierung von 1 MW, damit die relative Konvergenzprüfung der Rechenengine genau diese Wattgrenzen durchsetzt; dies ist keine physikalische Wärmequelle. Kurzfristige Schwankungen der Beladung und die Dynamik der Bodenplatte auf Zeitskalen unter einem Tag erfordern einen kleineren Zeitschritt. Zwei Betonzellen und eine Zelle über die Dicke jedes Dämmbereichs lösen schnelle instationäre Vorgänge innerhalb der Schichten nicht auf. Erweitern Sie bei weitreichender Wärmediffusion neben der Netzverfeinerung auch den äußeren Erdreichbereich.

Das Temperaturbild verwendet 65 × 49 Stützstellen, PCHIP-Interpolation in Radial- und Tiefenrichtung sowie lineare Interpolation zwischen den etwa alle zehn Tage gespeicherten Temperaturfeldern. Dies glättet das Bild, ohne die Genauigkeit der Lösung zu erhöhen. Die Ansicht zeigt den oberflächennahen Bereich, während das Rechengebiet bis zum eingegebenen äußeren Rand reicht. Ausführungsplanung, Tragfähigkeitsnachweise und elektrische Schutzmaßnahmen sind nicht Gegenstand dieses Rechners.

Die Bewertung der Wärmestromrichtung ist neutral, wenn der Betrag des Netto-Wärmestroms im Januar innerhalb des angegebenen Totbands liegt. Bei der Standardauflösung oder einer feineren Auflösung beträgt das Totband ±0,35 W/m² multipliziert mit der Bodenplattenfläche (±35 W bei 100 m²). Für ein gröberes Sand- und Erdreichnetz wird es mit $max[1,(7/n)^2]$ und für einen größeren Zeitschritt mit $max[1,Delta t/(24,h)]$ multipliziert. Dieser Toleranzansatz für die Vorbewertung deckt die nachgewiesene Abweichung von 22,66 W im Regressionstest mit nahezu verschwindendem Wärmestrom bei 100 m² gegenüber einer unabhängigen FEM-Lösung mit 11.058 Knoten ab. Er ist keine mathematisch abgesicherte Fehlerschranke für jede Eingabekombination und berücksichtigt keine Unsicherheiten der Stoffwerte und Randbedingungen. Geringe Änderungen bei einer Verfeinerung allein beseitigen die systematische Abweichung durch die feste Zellenzahl in den dünnen Schichten und den Eckbereich am Bodenplattenrand nicht. Das vorzeichenbehaftete Ergebnis in Watt bleibt verfügbar, wenn die Richtung unbestimmt ist; Pfeile im Schema werden innerhalb desselben Totbands ausgeblendet.

Das unterstützte Hauptnetz ist auf 4–9 Zellen über die Sandschichtdicke begrenzt (insgesamt höchstens 462 Zellen), bei Zeitschritten von 6–48 h. Nicht unterstützte Eingaben werden zurückgewiesen, bevor Speicher für das vollbesetzte Gleichungssystem reserviert oder dessen Zeitintegration gestartet wird. Das größte unterstützte Netz mit einem Zeitschritt von 6 h wurde bei der Build-Verifikation in 12,3 s berechnet und blieb damit unter der Zeitbegrenzung der Rechenengine von 30 s; die Standardeinstellungen benötigen weiterhin etwa 3 s. Für höher aufgelöste Kontinuumsrechnungen ist eine externe FEM-Anwendung oder ein anderer Löser für dünnbesetzte Systeme erforderlich. Diese Obergrenze begrenzt die Auflösung der dünnen Schichten und des Randbereichs; sie verändert die Wärmeleitungsgleichung nicht.