SPM-PMSM-Auslegungsrechner: Gegen-EMK und Rastmoment

Das Magnetfeld wird mit einer Fourier-Teilgebietsmethode für radial magnetisierte Magnete, einen ringförmigen Luftspalt, mittig angeordnete Nutöffnungen und breitere Wicklungsnuten berechnet. Die Methode folgt den Randbedingungen von Lubin, Mezani and Rezzoug (2011), beigefügtes Manuskript, S. 3–7. Die Implementierung erweitert die anhand von FEMM geprüfte Katalogvorlage für offene Nuten um eine separat hergeleitete Dirichlet-zu-Neumann-Elimination jeder Nutöffnung und Nut.

Für das axiale Vektorpotential $A_z$ gelten $B_r=r^{-1}partial A_z/partialvarphi$ und $B_varphi=-partial A_z/partial r$. In Luft gilt die Laplace-Gleichung, in den stromführenden Nuten und im magnetisierten Ringgebiet die Poisson-Gleichung. Globale Harmonische werden durch exakte Winkelintegrale mit lokalen Kosinusmoden abgeglichen. An Eisenoberflächen verschwindet die tangentiale magnetische Feldstärke. Potential und tangentiale Feldstärke sind über jede Nutöffnung hinweg stetig. Ein kleines, für alle Nuten identisches lokales Gleichungssystem wird einmalig eliminiert. Liegt der Winkelursprung in Nut 1, zerlegt die Q-fache Nutsymmetrie den globalen Operator in unabhängige Kosinus- und Sinus-Fourier-Blöcke. Jeder unterschiedliche Block wird einmal invertiert und zwischengespeichert; sämtliche Lösungen über die elektrische Periode, die Strangstrombasis und die Animationsantworten verwenden dieselben Inversen erneut.

Die Maxwell-Spannungen liefern Rastmoment und Drehmoment unter Last. Der Flächenmittelwert des Nutpotentials liefert die Strangflussverkettung; eine analytische Ableitung ergibt die Gegen-EMK. Die Strang-Selbstinduktivität entspricht der Flussantwort auf ein Ampere bei abgeschalteter Permanentmagnetquelle. Sie enthält die 2D-Nutstreuung, jedoch keine Stirnstreuung. Das unabhängige Drehmoment-/Leistungsresiduum prüft $overline T=(phat I/2)sum_jhatPsi_jcosgamma$.

Für die Dimensionierung bei sinusförmigen Verläufen wird die Radialfluss-Spezialisierung nach Huang et al. (1998), Gl. 1–9, mit $A_{rms}=2mN_{ph}I_{rms}/(pi D)$ hergeleitet:

Dabei ist $B_1$ der Scheitelwert der mitrotierenden Leerlaufgrundwelle in Luftspaltmitte mit räumlicher Ordnung $p$ und zeitlicher Ordnung $p$, $D$ der Durchmesser in Luftspaltmitte und $n$ die Drehzahl in Umdrehungen je Sekunde. Diese Grundwelle wird aus den vorhandenen Leerlauflösungen über eine vollständige elektrische Periode ermittelt, wobei der wiederholte Endpunkt ausgeschlossen wird. Für $B_r^{(p)}=C(theta)cos(pvarphi)+S(theta)sin(pvarphi)$ lauten die synchronen Koeffizienten $B_{1c}=langle Ccos(ptheta)+Ssin(ptheta)rangle$ und $B_{1s}=langle Scos(ptheta)-Csin(ptheta)rangle$; es gilt $B_1=sqrt{B_{1c}^2+B_{1s}^2}$. Die Winkelklammern bezeichnen den Mittelwert über eine elektrische Periode. Die räumlichen Koeffizienten werden analytisch aus den berechneten Fourier-Koeffizienten bestimmt, ohne erneute Feldberechnung oder räumliches Abtastraster.

Diese Projektion über eine Periode unterdrückt nutmodulierte höhere zeitliche Harmonische und ist unabhängig vom Winkel der Felddarstellung. Sie folgt der über eine Periode gemittelten Leistungsdefinition nach Huang et al. (1998), Gl. 1–9. Die angezeigten Luftspaltfeldkurven stellen weiterhin Momentanwerte dar. Ein Wirkungsgrad wird nicht vorausgesetzt. Beide Längenschätzungen halten Querschnitt, Windungszahl und Strom konstant. Die Dimensionierungsgleichung berücksichtigt nur die synchrone räumliche Grundwelle; die feldbasierte Schätzung enthält zusätzlich höhere räumliche Wicklungs- und Nutharmonische. Daher können die beiden Schätzungen voneinander abweichen. Bei einer Zielleistung von null beträgt die Ziel-Länge null.

Die dicht besetzten Matrizen bleiben innerhalb der numerischen Funktion. Ihr kompaktes Ergebnispaket enthält ausdrücklich gekennzeichnete SI-Größen; die benannten Rechenschritte wandeln sie für die Anzeige um. Die automatische Dimensionsprüfung erfasst die Eingabeumrechnungen und nachgeschalteten skalaren Gleichungen. Die interne numerische Matrizenalgebra wird anhand unabhängiger Referenzen und der Feldreziprozität verifiziert.

Das globale Potential nullter Ordnung wird auf null festgelegt. Jeder Strang besitzt gleich viele positive und negative Spulenseiten, sodass die Kompatibilitätsbedingung für den gesamten Nutstrom erfüllt ist. Die vollständige Stranginduktivitätsmatrix wird mit derselben Windungsmatrix für Erregung und Flussverkettung berechnet; ihre Reziprozität wird geprüft.

Die Rotorwinkeleinstellung ist elektrisch: $theta_m=theta_e/p$. Bei 45 elektrischen Grad je Sekunde dauert die Wiedergabe einer elektrischen Periode acht Sekunden, unabhängig von der physikalischen Drehzahl, die für Spannung und Leistung verwendet wird. Die dicht besetzte Teilgebietsrechnung greift nicht auf diese Einstellung zu. Zwischengespeicherte Antwortmatrizen für PM-Harmonische und einzelne Strangströme rekonstruieren die momentanen Fourier-Koeffizienten durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Die Kurvenpunkte verwenden eine lineare Interpolation der vom ausgewählten Winkel unabhängigen Stützstellen über die elektrische Periode. Das Feld selbst wird aus den momentanen Koeffizienten berechnet. Dadurch bleibt die nutbedingte Verzerrung am Stator ortsfest und wird nicht als starre Welle verschoben.

Bei einem Stator mit Q gleichmäßig verteilten, identischen Nuten ist der Bohrungsoperator gegenüber einer Drehung um $2pi/Q$ invariant. Er koppelt mechanische Fourier-Ordnungen nur dann, wenn $kequivpm hpmod Q$ gilt. Der Cache für statische Antworten speichert genau diese Einträge als komplexe Kosinus-/Sinuspaare sowie die Stromantwort jedes Strangs. Die unabhängigen Blockinversen werden einmalig als obere Dreiecksmatrizen symmetrischer Matrizen zwischengespeichert. Je zwei reelle Einträge belegen ein komplexes Cache-Element. Dadurch bleiben die gespeicherten Arrays klein, ohne ihre Werte zu verändern. Jede Inverse wird gegen ihren eigenen assemblierten Randoperator geprüft. Nicht selbstkonjugierte Sinusblöcke sind vorzeichenbehaftete Varianten ihrer Kosinusblöcke; die Sinusblöcke der Restklassen null und Q/2 werden separat zwischengespeichert. Projektionen des mittleren Potentials und der Stromquelle einer einzelnen Nut ersetzen die großen, für alle Nuten vervielfachten Matrizen. Eine gemeinsame Strangstrombasis wird einmalig berechnet. Jeder der vier Animations-Cache-Blöcke erzeugt nur die darin enthaltenen PM-Antworteinträge und kopiert den benötigten Teil dieser gemeinsamen Strombasis. Dies ist eine exakte Symmetriereduktion ohne zusätzliche Abschneidung über die gewählte Harmonischenordnung hinaus. Die Cache-Rekonstruktion wurde für winkelversetzte Nuten, Rotorwinkel außerhalb des Abtastrasters, die Einstellung mit 200 Harmonischen und die fünfsträngige Referenz mit offenen Nuten gegen eine direkte Lösung des dicht besetzten Gleichungssystems geprüft.

• Unendlich permeables, ungesättigtes Eisen; zweidimensionale Magnetostatik; keine Schrägung oder Endeffekte.
• Radiale Oberflächenmagnete mit gleichförmiger Remanenz und einer relativen reversiblen Permeabilität von genau 1. Geben Sie die Remanenz bei Betriebstemperatur ein. Mindestens vier Rotorpole.
• Radiale Nutflanken, mittig angeordnete Nutöffnungen, gleiche Nuten und eine gleichförmig vorgegebene Stromdichte ausschließlich in der breiteren Wicklungsnut. Im Modus mit offenen Nuten fließt der Strom in der gesamten offenen Nut von der Statorbohrung bis zum Nutgrund.
• Einschichtige Zahnspulen auf jedem zweiten Zahn; alle Spulen eines Strangs in Reihe; symmetrische Wicklungen mit ungerader Strangzahl. Als d-Achse für den Strangstromwinkel dient die berechnete Flussgrundschwingung des jeweiligen Strangs.
• Voreingestellter Querschnitt: Lubin, Tabelle I, mit einem Nutwinkel von 30° und einem Nutöffnungswinkel von 12°. Die Vorgaben von 100 Windungen, 6 A Scheitelstrom und 750 W Zielleistung sind Auslegungsentscheidungen und keine veröffentlichten Leistungsdaten. Der Kupferfüllfaktor ist die Kupferfläche geteilt durch die Fläche der breiten Wicklungsnut.
• Die Jochdicke in der Zeichnung ist schematisch: Die Lösung mit idealem Eisen dimensioniert das Eisenjoch nicht. Flusssperren im Stator werden nicht modelliert.

Veröffentlichte Vergleiche: Die Referenzfälle mit halbgeschlossenen Nuten verwenden die FEM-Markierungen aus Lubin, Abb. 10–12 (beigefügte PDF-Datei, S. 9). Ihre Sollwerte sind näherungsweise aus den Diagrammen abgelesene Werte mit ausdrücklich angegebenen Toleranzen, keine exakten experimentellen Messwerte. Der Lastfall verwendet den im Artikel angegebenen Effektivwert der Nutstromdichte von 4,6 A/mm² und prüft das mittlere Drehmoment von etwa 9 N·m. Der Fall mit offenen Nuten verwendet den unabhängigen FEMM-4.2-Testfall des Repositorys für die Geometrie aus Ackermann, Tabelle 5.2, mit entfernten Flusssperren. Er entspricht nicht Ackermanns veröffentlichtem Ergebnis für die Maschine mit Flusssperren.

In Lubin, Tabelle I, wird δ als Nutteilung bezeichnet und π/Q = 30° angegeben. Bei sechs Nuten beträgt die tatsächliche Umfangsteilung 60°; δ bezeichnet in der maßgeblichen Geometrie den Winkel der breiteren Wicklungsnut von 30°. Dieser Rechner verwendet diese physikalische Interpretation. Die Gleichungen werden nicht an die Formulierung der Tabelle angepasst.

Verwenden Sie die Voreinstellung 120/20 für erste Untersuchungen; vergleichen Sie mit 160/30 und 200/30. Das Rastmoment reagiert empfindlich auf die Begrenzung der Harmonischenzahl und auf die Felder an den Ecken. Die Übereinstimmung mit veröffentlichten FEM-Ergebnissen validiert diese konkreten Geometrien und die Annahmen linearer Materialien, nicht beliebige Maschinen. Leiten Sie aus den linearen Ergebnissen keine Aussagen zu Sättigung oder Dauerbemessungswerten ab. Die Kupferstromdichtewarnung bei 8 A/mm² ist ein technischer Prüfhinweis und kein allgemein zulässiger Grenzwert. Bei kurzen Blechpaketen sind Endeffekte besonders zu beachten.

Die Strangspannung umfasst ausschließlich die Gegen-EMK. Ohmscher Spannungsfall, induktive Spannung, PWM, Wechselrichtergrenzen, Eisen- und Kupferverluste, Magneterwärmung und Verluste bei der mechanischen Leistungsabgabe werden nicht berücksichtigt. Die Grundschwingung der Spannung zwischen benachbarten Strängen setzt die symmetrische Phasenverschiebung von 360°/m voraus. Die Längenskalierung gilt nur, solange die Annahmen zum 2D-Querschnitt und zu den Materialien anwendbar bleiben.

Bei sehr schmalen Nutöffnungen muss zusätzlich zur globalen Harmonischenzahl die lokale Modenkonvergenz geprüft werden. Die Validierung verwendet die veröffentlichten FEM-Kurven für halbgeschlossene Nuten und den vorhandenen FEMM-Testfall für offene Nuten. Diese Referenzen ersetzen keine Finite-Elemente-Prüfung eines neuen Entwurfs mit nachgewiesener Netzkonvergenz.

Die Prüfung auf kurze Blechpakete berücksichtigt die eingegebene aktive Länge und bei aktivierter Zieldimensionierung beide empfohlenen aktiven Längen. Liegt einer dieser Werte unter dem halben Durchmesser in Luftspaltmitte, prüfen Sie die Endeffekte, bevor Sie einen der beiden Schätzwerte als Auslegungsmaß verwenden. Die Schwelle L/D = 0,5 ist ein technischer Prüfhinweis und keine allgemeingültige Genauigkeitsgrenze.