Wellendurchmesser-Rechner: Drehmoment, Biegung, Dauerfestigkeit & kritische Drehzahl

Drehmoment und Antriebskräfte

Das mechanische Drehmoment ist $T_m=P/omega$; die Drehzahl in rpm wird ausdrücklich in die Winkelgeschwindigkeit umgerechnet. Geprüft wird der Bereich von $T_{min}=T_m-T_a$ bis $T_{max}=T_m+T_a$. Die Eingabebedingung verlangt $0leq T_aleq T_m$: Ein Drehmomentvorzeichenwechsel wird ausgeschlossen, da er ein anderes Modell für den Zahnkontakt oder die Riemen-/Kettenrichtung erfordert. Drehmoment null wird berücksichtigt, wenn $T_{min}=0$ oder der gesamte Bereich bei null liegt.

Für jeden Drehmomentgrenzwert beträgt die Umfangskraft $F_t=2T/D$. Beim geradverzahnten Stirnrad gilt $F_r=F_ttanalpha$; bei parallelem Zug- und Leertrum eines Riemens oder einer Kette mit dem Kraftverhältnis Zug-/Leertrum $r$ beträgt die resultierende Querkraft $F_t(r+1)/(r-1)$. Die Tangentialkraftrichtung am Stirnrad ist $beta$, wobei +y nach unten und +z seitlich zeigt. Die Wahl der Radialkraftrichtung ergibt $s=+1$ für $beta+90^circ$ oder $s=-1$ für $beta-90^circ$:
$F_y=F_tcosbeta-sF_rsinbeta,qquad F_z=F_tsinbeta+sF_rcosbeta.$
Bei $beta=90^circ$ erzeugen die beiden Richtungen somit eine Radialkraft nach oben beziehungsweise unten bei unveränderter Tangentialkraft in +z. Wählen Sie die Trennkraftrichtung anhand der tatsächlichen Zahneingriffsgeometrie; SDP/SI §16.1 erläutert tangentiale und radiale Zahnkräfte. Verwenden Sie für ein hiervon abweichendes Kraftsystem den Modus für bekannte Kräfte.

Die berechneten Kräfte enthalten an beiden Drehmomentgrenzwerten dieselbe Rotorgewichtskraft. Der Modus für bekannte Kräfte erwartet Gesamtkräfte einschließlich Gewichtskraft; diese eingegebenen Kräfte bleiben über den Drehmomentbereich konstant.

Warum die Grenzwerte den gesamten Bereich abdecken

Bei Drehmomenten ohne Vorzeichenwechsel hängt jede berechnete Kraft affin vom Drehmoment ab; die Gewichtskräfte bleiben konstant. Damit hängen auch die linearen Balkenbiegemomente, Verschiebungen, Neigungen und Lagerreaktionskomponenten an jeder Wellenposition affin vom Drehmoment ab. Die Norm eines affinen Vektors ist konvex. Ihr größter Betrag auf diesem abgeschlossenen Intervall liegt daher an einer Bereichsgrenze. Nulldurchgänge einzelner Komponenten und Aufhebungen durch Gewichtskräfte innerhalb des Intervalls können keinen größeren Betrag erzeugen. Beide Grenzlastfälle bleiben erhalten; eine vorzeichenbehaftete komponentenweise Mischung wird nicht als physikalischer Lastfall behandelt.

Gleichgewicht und Steifigkeit

Die Lagerreaktionen ergeben sich aus Kräfte- und Momentengleichgewicht in jeder Querebene. An jedem Drehmomentgrenzwert beträgt das resultierende Biegemoment $M=sqrt{M_y^2+M_z^2}$. Die ausgegebenen Beträge von Biegemoment, Durchbiegung, Neigung und radialer Lagerreaktion sind die Maximalwerte aus beiden Drehmomentgrenzwerten. Drehmoment wirkt nur im Wellenabschnitt zwischen den Antriebselementen beziehungsweise zwischen Lager A und der einzigen Laststelle. Euler–Bernoulli-Lösungen für Einzellasten und eine Lösung für gleichmäßig verteiltes Eigengewicht liefern Verschiebung und Verschiebungsableitung. An beiden Lagern sind die Verschiebung und das aufgebrachte Endmoment null. Das Diagramm verwendet 201 gleichmäßig verteilte Positionen; Rotorverschiebungen, Wellenneigungen an den Lagern und Biegemomente an beiden Laststellen werden direkt berechnet. Kleine Neigungswinkel werden in mrad ausgegeben. Maximale Durchbiegung und zugehörige Position werden aus den diskreten Positionen ermittelt, nicht als analytische Extremwerte. MIT OCW Lecture 03, attached pp. 11–17, erläutert die Balkenbeziehungen und Superpositionsannahmen; NPTEL Module 8 Lesson 2, pp. 6–8, enthält das Steifigkeitsbeispiel.

Konservative Durchmesserbemessung

Für einen Durchmesserkandidaten $d$ werden $I=pi d^4/64$ und der Biegemomentenhüllansatz $M_b(d)=M_{point,max}+w(d)L^2/8$ verwendet. Das Eigengewicht wird für jeden Durchmesserkandidaten neu berechnet. Bei Einzellasten ist der Betrag des resultierenden Biegemoments zwischen den Laststellen konvex; sein Maximum liegt daher an einer Laststelle. $M_{point,max}$ ist das größte dieser Biegemomente über beide Drehmomentgrenzwerte. Die Addition des maximalen Eigengewichtsbiegemoments in ungünstigster Richtung und der Ansatz des vollen Drehmoments ergeben einen konservativen Bemessungshüllansatz für einen konstanten Durchmesser. Das gilt auch, wenn die tatsächlichen Biegemoment- und Drehmomentmaxima an unterschiedlichen Positionen oder bei unterschiedlichen Drehmomentgrenzwerten auftreten.

Die Nennspannungen sind $sigma_b=32M_b/(pi d^3)$ und $tau=16T/(pi d^3)$. Für die Prüfung gegen statisches Fließen wird $sigma_{VM}=sqrt{(K_tsigma_b)^2+3[K_{ts}(tau_m+tau_a)]^2}$ verwendet.

Eine ortsfeste Querlast an einem Drehmomentgrenzwert erzeugt an einem rotierenden Materialpunkt reine Wechselbiegung. Bei konstanter oder langsam veränderlicher Querlast wird konservativ für jede Umdrehung die ungünstigste Biegemomentenhüllkurve aus beiden Drehmomentgrenzwerten angesetzt: $M_a=M_b$, $M_m=0$. Es gelten $K_f=1+q_b(K_t-1)$ und $K_{fs}=1+q_t(K_{ts}-1)$. Die GEH-Vergleichsspannungen sind $sigma'_a=sqrt{(K_fsigma_b)^2+3(K_{fs}tau_a)^2}$ und $sigma'_m=sqrt{3}K_{fs}tau_m$. Nach modifiziertem Goodman gilt $1/n_f=sigma'_a/S_e+sigma'_m/S_{ut}$. Das übliche elastische GEH-Goodman-Verfahren verwendet Kerbwirkungszahlen sowohl für die Mittelspannungs- als auch für die Wechselspannungsanteile; die Formzahlen werden separat für die Prüfung der Spannungsspitze gegen Fließen verwendet. Lokales Fließen und Mittelspannungsrelaxation werden nicht modelliert.

Die Probendauerfestigkeit wird mit $S'_e=min(0.5S_{ut},700,mathrm{MPa})$ geschätzt. Oberflächen-, Größen-, Zuverlässigkeits-, Temperatur- und weitere Korrekturfaktoren werden mit diesem Wert multipliziert; der Lastfaktor für Biegung ist eins. Durch Bisektion wird jeder Durchmesser für die geforderte Sicherheit bestimmt. MIT Lecture 04, pp. 30–32 and 52–54, liefert die Grundlagen für Dauerfestigkeitsschätzung, Korrekturfaktoren, Goodman-Gerade und Kerbempfindlichkeit. NPTEL Module 8 Lesson 1, pp. 5–6, enthält die Spannungsgleichungen für Kreisquerschnitte; der Rechner verwendet von Mises anstelle des dort erläuterten Bemessungsverfahrens nach zulässiger Schubspannung/ASME.

Kritische Drehzahl nach Rayleigh

Die Gewichtsdurchbiegung $y_g(x)$ wird ausschließlich aus den Rotorgewichtskräften und dem verteilten Welleneigengewicht berechnet. Mit $psi=y_g/y_{g,max}$ und den Rotorgewichtskräften $W_i$ gilt:

Die Trapezintegration verwendet das Raster mit 201 Positionen; die Rotoranteile verwenden die exakt berechnete Durchbiegung an den Laststellen. Damit wird die Formel für Einzelgewichtskräfte aus NPTEL Module 8 Lesson 2, p. 7, über dieselbe Energiebilanz um die Wellenmasse erweitert. Das Ergebnis ist eine näherungsweise obere Abschätzung der idealen ersten Biegeeigenfrequenz. Das angezeigte Drehzahlverhältnis dient einer vorläufigen unterkritischen Prüfung und stellt keinen nachgewiesenen Sicherheitsabstand zur Resonanz dar.

Balkensuperposition, konservativer Hüllansatz, Erweiterung um die verteilte Masse und numerische Umsetzung werden hier aus diesen mechanischen Beziehungen hergeleitet. Die Animation zeigt die elastische Biegespannung $K_tsigma_bcostheta$ an einem Materialpunkt auf Grundlage des konservativen Bemessungshüllansatzes; die Torsionsspannung wird separat ausgegeben.

• Eine gleichförmige Stahlvollwelle; zwei ideale Lager an den Enden, ohne Überhang. Beide Lager verhindern Querverschiebungen und lassen Biegedrehungen zu. Im Modus mit einem Antriebselement liegt die antreibende Kupplung am Lager A.
• Die Rotoren werden als Punktmassen ohne Rotationsträgheit modelliert. Dichte und Elastizitätsmodul sind konstant. Der Eigengewichtsschalter steuert sowohl die verteilte Wellenmasse als auch das Welleneigengewicht.
• Die Antriebskraftrichtungen sind raumfest. Berechnete Kräfte werden an beiden Drehmomentgrenzwerten ohne Vorzeichenwechsel bei unveränderten Rotorgewichtskräften geprüft. Bekannte Kräfte bleiben konstant. Die Hüllwerte können an unterschiedlichen Positionen zu unterschiedlichen Lastfällen gehören; sie bilden keine gleichzeitig auftretende Biegelinie ab.
• Die Dauerfestigkeitsberechnung behandelt die ungünstigste Biegemomentenhüllkurve aus beiden Drehmomentgrenzwerten als reine Wechselbiegung bei jeder Umdrehung, zusammen mit der eingegebenen mittleren Torsion und Torsionsamplitude. Dies ist ein Modell für konstante oder langsam veränderliche Querlasten, keine Ermüdungsanalyse mit synchronisierten Lastverläufen.
• Für die Kraftnäherung über die Summe der Trumkräfte werden Zug- und Leertrum von Riemen oder Kette als parallel angenommen. Über das eingegebene Trumkraftverhältnis hinaus werden keine zusätzliche Lagervorspannung und keine zusätzliche Riemenvorspannung angesetzt.
• Bekannte Kräfte enthalten die Rotorgewichtskraft. Die zugehörigen eingegebenen Rotormassen bestimmen weiterhin die Gewichtsdurchbiegung für die kritische Drehzahl. Beide Beschreibungen müssen vom Anwender physikalisch konsistent gehalten werden.
• Beispielhafte Kennwerte sind $S_y=400$ MPa, $S_{ut}=600$ MPa, $E=200$ GPa und eine Dichte von 7850 kg/m³; sie bezeichnen keine bescheinigte Werkstoffsorte. Die voreingestellten Formzahlen 1,7 und 1,5 sind Ausgangsannahmen für einen ausgerundeten Wellenabsatz, keine allgemeingültigen Werte für Passfedernuten.
• Dauerfestigkeitskorrekturfaktoren und Kerbfaktoren bleiben während der Bemessung konstant. Prüfen Sie Größenfaktor, Oberflächenzustand und tatsächliche Absatz-/Passfedernutgeometrie beim gewählten endgültigen Durchmesser erneut.
• Keine Lastspielzählung für Zeitfestigkeit und keine Schadensakkumulation bei veränderlicher Amplitude. Ein fehlender Sicherheitswert bei exakt null Spannung bedeutet, dass keine endliche spannungsbezogene Sicherheit erforderlich ist. Bei deaktivierter Laststelle 2 bleibt deren Durchbiegungskarte leer. Zeichnungen enthalten ausdrückliche SI-Beschriftungen; Zahlenkarten, Diagramme und Tabellen folgen der Umschaltung zwischen metrischen und US-Einheiten.

Geeignet zur Vorbemessung und Lehre für schlanke Stahlwellen unter elastischer Biegung und Torsion. Ein Verhältnis von Lagerabstand zu Durchmesser unter 10 und Durchbiegungen über 1 % des Lagerabstands lösen Hinweise auf die Näherungsgrenzen aus. Zulässige Durchbiegungen und Neigungen müssen aus der Anwendung und den Vorgaben der Komponentenlieferanten abgeleitet werden.

Der erforderliche Festigkeitsdurchmesser ist konservativ und erfüllt nicht automatisch die Steifigkeits- oder Drehzahlanforderungen. Ein größerer Durchmesser verändert Eigengewicht und verteilte Masse. Geben Sie den gewählten Durchmesser erneut ein und prüfen Sie alle Anforderungen.

Der Rayleigh-Ansatz setzt starre Abstützungen voraus und vernachlässigt Lager-/Gehäusenachgiebigkeit, Rotationsträgheit der Scheiben, Kreiselkopplung, Dämpfung, Unwuchtantwort und höhere Eigenformen. Seine obere Abschätzung kann die tatsächliche erste kritische Drehzahl überschätzen. Das gewählte Verhältnis von Betriebsdrehzahl zu kritischer Drehzahl ist eine Annahme des Anwenders; untersuchen Sie den vollständigen Rotor bei Betrieb nahe der Resonanz oder bei jeglichem überkritischen Betrieb.

Drehmomentvorzeichenwechsel werden ausgeschlossen: Reduzieren Sie die Amplitude auf höchstens das mittlere Drehmoment. Radialkraftrichtungen am Stirnrad müssen der Zahneingriffsgeometrie entsprechen; verwenden Sie für andere Lastsysteme bekannte Kräfte. Synchronisierte Kraft-/Rotationsverläufe, Änderungen der Lastrichtung, Schadensakkumulation im Zeitfestigkeitsbereich und resonanzbedingte Verstärkung veränderlicher Lasten erfordern eine separate Analyse.

Axiallasten, Axialschub, Hohlquerschnitte, abgestufte Biegesteifigkeit, plastische Kerbkorrekturen, Korrosionsermüdung, Reibkorrosion und Kontaktspannungen werden nicht berücksichtigt. Kerbfaktoren erfassen nur die lokale Spannungsüberhöhung, nicht die Steifigkeit einer tatsächlich abgesetzten Welle. Dies ist kein Nachweis nach DIN 743; Normtabellen oder -diagramme sind nicht hinterlegt. Prüfen Sie, wo erforderlich, nach der jeweils gültigen Norm.