Stabilitätsrechner für Segelboote: Krängung, Reffen und GZ-Kurve

Grundlage ist die Hydrostatik der Querstabilität nach Rawson und Tupper, Basic Ship Theory, 5. Auflage (2001), Kapitel 4. Die Formel für senkrechte Bordwände ist auch ausdrücklich in der SQA/MCA-Prüfung „Naval Architecture“ vom 21. Oktober 2016, Q2, PDF-S. 30, in der verlinkten Hochschulquelle angegeben. Die nachfolgende Querschnittsgeometrie und numerische Umsetzung werden hier hergeleitet; sie beruhen nicht auf empirischen Yachtkorrelationen.

Für Rumpfbreite $B$, Rumpftiefgang $T$, Freibord $F$ und Bodenbreitenverhältnis $r$ hat der Unterwasserquerschnitt die Bodenbreite $rB$, einen Kimmknick auf halbem Tiefgang und senkrechte Bordwände vom Kimmknick bis zum Deck. Damit gelten $A_0=BT(3+r)/4$, $KB=T(r+11)/(6(r+3))$, $L_e=(m/rho_w)/A_0$, $I_{wp}=L_eB^3/12$, $BM=I_{wp}/nabla$ und $GM=KB+BM-KG$. Die Bezugsebene ist der Boden des auftriebserzeugenden Rumpfkörpers, nicht die Unterkante eines Flossenkiels.

Bei jedem Krängungswinkel werden die sechs Querschnittseckpunkte gedreht, das Polygon an einer horizontalen Wasserlinie auf seinen eingetauchten Anteil beschnitten und die Eintauchung so bestimmt, dass $A_0$ erhalten bleibt. Die Flächenmomente erster Ordnung des Polygons liefern B; die Drehung des rumpffesten G ergibt $GZ=x_B-x_G$. Das aufrichtende Moment beträgt $mgGZ$. Ein Winkeldurchlauf in 3°-Schritten liefert die Diagramme und die zwischengespeicherte Animation. Die Gleichgewichtssuche prüft die Intervalle der Reihe nach und bestimmt ein inneres Maximum des resultierenden Moments auch dann, wenn beide abgetasteten Intervallenden negativ sind. Anschließend wird die untere Nullstelle durch direkte Schwerpunktauswertung verfeinert. Eine Maximumsuche nach dem Goldenen Schnitt löst jedes 3°-Intervall auf weniger als 0,00008° auf. Aufgrund der strengen Monotonie im Gültigkeitsbereich senkrechter Bordwände sowie einer geometrischen Obergrenze werden Intervalle übersprungen, die keine Nullstelle enthalten können. Auch der AVS wird durch Nullstellensuche mit Einschließung verfeinert. Der AVS ist die erste Nullstelle nach dem anfänglichen Bereich mit positivem aufrichtendem Hebelarm; 180° bedeutet, dass zuvor keine Nullstelle gefunden wurde. Das Maximum aus dem Winkelraster wird mit einer Auflösung von 3° ausgegeben.

Der unabhängige Vergleich $GZ=sintheta[GM+(BM/2)tan^2theta]$ ist auf $thetalearctan[2min(F,T/2)/B]$ beschränkt: Weder darf das Deck eingetaucht noch der Kimmknick ausgetaucht sein. Die analytische GM und der Hebelarm für senkrechte Bordwände werden mit der Schwerpunktsintegration verglichen.

Die NASA-Beziehung für die aerodynamische Kraft liefert $F_0=rho_a C_H A V^2/2$. Für die projizierte Segelfläche und den Krafthebelarm wird jeweils der Faktor $costheta$ angesetzt; daraus folgt $M_H=F_0hcos^2theta$. Die Böengeschwindigkeit beträgt $kV$, das Böenmoment somit das $k^2$-Fache des Moments bei mittlerem Wind. Diese Momentenbilanz wird bei der gewählten Krängung nach der mittleren Windgeschwindigkeit an der Reffschwelle und beim eingegebenen Wind nach der maximalen verbleibenden Segelfläche aufgelöst. Die Gleichgewichtssuche endet am Flutungswinkel, am Modell-AVS oder bei 80°, je nachdem, welche Grenze zuerst erreicht wird.

Die historische USYRU/SNAME-Kenterkennzahl lautet $CSF=B/(m/rho_s)^{1/3}$ mit der ursprünglichen Konvention von 64 lb/ft³, ausdrücklich in SI-Einheiten umgerechnet. Sie ist unabhängig von der eingegebenen Wasserdichte. Wolfson Unit (1991), Abschnitt 6.3, dokumentiert die Kennzahl. Ein internationaler Knoten entspricht exakt 1852 m/h. Die Einheitenanzeigen der Karten und Diagramme folgen der Umschaltung zwischen metrischen und US-Einheiten; die schematische Darstellung kennzeichnet ihre eigenen Meter- und Knotenangaben ausdrücklich.

Angenommen wird ein symmetrischer, starrer, geschlossener prismatischer Rumpf in ruhigem Wasser; Trimm, Änderungen der Rumpfform in Längsrichtung, Spantausfall und Reserveauftrieb durch Kajütaufbauten werden nicht berücksichtigt. Die Masse des Flossenkiels geht in den gesamten KG ein; sein Verdrängungsvolumen wird vernachlässigt. Die abgeleitete äquivalente Länge ist keine Vorhersage der tatsächlichen Wasserlinienlänge. Tiefgang und Masse beschreiben denselben Beladungsfall unabhängig voneinander und müssen bei Beladungsänderungen konsistent angepasst werden.

Alle Fluid- und Lastkonstanten sind als Eingaben angegeben. Die vorgegebenen Rumpfabmessungen, KG, der Flutungswinkel von 60°, der Seitenkraftbeiwert 1, der Krafthebelarm und der Böenfaktor sind beispielhafte ingenieurmäßige Annahmen und keine Messwerte einer Serienyacht. Entnehmen Sie KG und Flutungswinkel den Beladungs- und Stabilitätsunterlagen des Bootes. Tanks werden als vollständig gefüllt oder leer angenommen; es erfolgt keine Korrektur für freie Flüssigkeitsoberflächen.

Verwendet wird der scheinbare Wind auf Segelhöhe mit einem einzigen effektiven Seitenkraftbeiwert, bezogen auf die Arbeitssegelfläche bei aufrechtem Boot. Die Abhängigkeit vom Quadrat des Kosinus des Krängungswinkels, der konstante Beiwert und der konstante Krafthebelarm sind Modellannahmen. Reffen verändert ausschließlich die Fläche; geben Sie bei geänderter Besegelung neue Werte für Beiwert und Hebelarm ein. Die Wiedergabe zeigt einen vorgegebenen Winkeldurchlauf, keine dynamische Rollsimulation.

Verwenden Sie dieses Werkzeug für eine statische, vergleichende Abschätzung von Rumpfstabilität und Segellasten eines anfangsstabilen Einrumpfbootes, dessen Querschnitt hinreichend gut dargestellt wird. Die vollständige GZ-Kurve und ihr AVS gelten für die Näherung eines wasserdicht geschlossenen Rumpfes; sie bestimmen nicht den Winkel, bis zu dem sich eine reale Yacht wieder aufrichten kann. Jenseits des eingegebenen Flutungswinkels ist der fortbestehende Auftrieb hypothetisch. Die Krängungsgrenze zum Reffen muss unter dem Flutungswinkel, dem Modell-AVS und dem Winkel beim im Raster ermittelten maximalen aufrichtenden Hebelarm liegen. Die Windprojektion wird nur bis 80° verwendet.

Der für die historische Kenterkennzahl häufig genannte Wert 2 ist eine Konvention zur Vorauswahl, kein Sicherheitsgrenzwert für Bestehen oder Nichtbestehen. CSF berücksichtigt weder Schwerpunktlage, Ballastlage, Öffnungen und Rumpfform noch das dynamische Verhalten; die Kennzahl lässt sich nicht in einen AVS umrechnen. Hoch angebrachtes Zusatzgewicht kann CSF verringern und gleichzeitig die tatsächliche Stabilität verschlechtern.

Brechende Wellen, Rollenergie, transientes Überschwingen, Böendauer, aerodynamische Entlastung der Segel, Festigkeit von Rigg und Segeln, Bewegungen der Besatzung, verrutschter Ballast, Flutung, freie Flüssigkeitsoberflächen, Trimm, Mehrrumpfboote, Regattazulassung und behördliche Zertifizierung werden nicht beurteilt. Es werden keine Verfahren, Tabellen oder Abbildungen aus ISO 12217 umgesetzt. Ziehen Sie vor der Festlegung tatsächlicher Reffgrenzen eine bootspezifische Hydrostatik- und Beladungsbeurteilung durch einen Schiffbauingenieur sowie die Betriebsanweisungen des Bootsherstellers und Segelmachers heran.

Die numerischen Referenzfälle validieren die Hydrostatik bei aufrechtem Boot und das übliche aerodynamische Kraftgesetz; sie stellen keine Validierung der Reff- oder AVS-Näherung durch Seeversuche dar. Das nichtlineare Rumpfmodell wird zusätzlich anhand der Theorie für senkrechte Bordwände, der Symmetrie und der Erhaltung der Verdrängung geprüft.

Verbleibende Segelflächenanteile bis hinunter zu 0,001 der vollen Arbeitssegelfläche können eingegeben werden. Ist der erforderliche Anteil kleiner, wird er ohne Anhebung auf den Mindestwert ausgegeben und als außerhalb des unterstützten Eingabebereichs gekennzeichnet. Ein solches Ergebnis erfordert eine andere Beurteilung der Betriebsbedingungen oder der Besegelung; es ist keine Empfehlung für eine tatsächlich umsetzbare Reffstufe.