Rotierende Scheibe & Ring: Spannung, Aufweitung und Berstdrehzahl

Das Modell löst das achsensymmetrische radiale Gleichgewicht für die tatsächliche Dicke $h(r)$:

Für den ebenen Spannungszustand liefert das Elastizitätsgesetz $sigma_r=frac{E}{1-nu^2}[u'+nu u/r-(1+nu)alphaDelta T]$ und $sigma_theta=Eu/r+nusigma_r-EalphaDelta T$.

Mit $x=r/b$, $d=u/b$, $H=h/h(a)$ und $f=xHsigma_r/E$ lauten die Gleichungen des Schießverfahrens

Ein Runge–Kutta-Verfahren vierter Ordnung integriert getrennte Lastbasen für Druck, Rotation und thermische Dehnung auf einem logarithmischen Radialgitter. Das lineare Schießverfahren erzwingt Lastfreiheit am Außenrand. An der Bohrung der Ringscheibe gilt $sigma_r=-p$; für die Vollscheibe wird die im Mittelpunkt reguläre Lösung mit $u(0)=0$ und $sigma_r(0)=sigma_theta(0)$ verwendet. Diese Gleichungen werden hier aus dem Gleichgewicht und dem Hooke’schen Gesetz hergeleitet; die Grenzfälle konstanter Scheibendicke werden anhand der klassischen Lösungen für rotierende Scheiben von Timoshenko und Goodier sowie der Hochschulreferenz überprüft.

Für den Schrumpfsitz gilt $p=max[0,(delta+u_{h,mathrm{free}}-u_{d,mathrm{free}}(a))/(C_d+C_h)]$. Für eine massive Nabe im ebenen Spannungszustand gelten $C_h=a(1-nu_h)/E_h$ und $u_{h,mathrm{spin}}=rho_homega^2a^3(1-nu_h)/(4E_h)$. Das Abheben tritt ein, wenn die Kontaktpressung mit steigender Drehzahl erstmals null wird. Weitet sich die Nabe schneller auf, kann der Kontakt erneut schließen; die Suche nach Kontaktpressungen und Grenzdrehzahlen berücksichtigt diesen Übergang.

Die mit der Dicke gewichtete mittlere Umfangsspannung lautet $barsigma_theta=int_a^b hsigma_theta,dr/int_a^b h,dr$. Aus dem Kräftegleichgewicht der Halbscheibe folgt außerdem $barsigma_theta=[rhoomega^2int r^2h,dr+a h(a)p]/int h,dr$. Die Berstdrehzahl ist die erste Drehzahl, bei der $barsigma_theta=k_bS_u$ gilt (NASA SP-8052, printed p.81, PDF p.93, equations 82–84). $k_b=1$ entspricht dem idealen Kriterium der mittleren Umfangsspannung für duktile Werkstoffe; ein kleinerer Faktor muss durch einschlägige Nachweise belegt sein. Für den ersten lokalen Fließbeginn wird dagegen $maxsqrt{sigma_r^2-sigma_rsigma_theta+sigma_theta^2}=S_y$ gelöst. Skalare Nullstellensuchen mit eingeschlossenem Suchintervall erfolgen getrennt auf beiden Seiten eines Kontaktwechsels.

Autodesk AVE-21/22 (PDF pp.113–116) liefert den unabhängigen FEM-Vergleichsfall für die konische Scheibe und benennt den zugehörigen Fall für rotierende Bauteile aus Roarks sechster Auflage. NASA CR-135033, printed p.28 / PDF p.39, beschreibt ein modifiziertes Hallinan-Verfahren mit zusätzlichen Kerb- und Duktilitätseinflüssen; diese proprietären Modifikationen sind nicht Bestandteil dieses Rechners.

Homogener, isotroper, linear-elastischer Werkstoff mit innerhalb jedes Bauteils konstanten Kennwerten; kleine Dehnungen; achsensymmetrische Geometrie, Dicke und vorgegebene Temperatur; stationäre Rotation und lastfreie Stirnflächen. Lastfreier Außenrand und entweder eine lastfreie Bohrung, ein einseitig wirkender, reibungsfreier radialer Presssitz oder ein regulärer Mittelpunkt einer Vollscheibe. Die massive Nabe hat dieselbe Drehzahl, kann aber andere elastische und thermische Kennwerte aufweisen. Das Übermaß ist klein genug, um für die Nabengeometrie den Nennradius der Bohrung zu verwenden. Die Scheibentemperatur wird als linearer Verlauf über dem Radius vorgegeben; eine Wärmeübertragungsberechnung erfolgt nicht. Die Temperaturänderungen beziehen sich auf denselben spannungsfreien Zustand wie das Übermaß. Zugspannungen und nach außen gerichtete Verschiebungen sind positiv. Die Festigkeitswerte der Baustahlvorgabe folgen den Dickenbereichen der Tabelle bis 80 mm; für andere Erzeugnisse und Temperaturen sind eigene Daten erforderlich.

Der ebene Spannungszustand eignet sich für dünne Scheiben mit glatten Dickenverläufen. Ein lokaler Absatz, ein Randeffekt am Nabenende oder eine starke Oberflächenneigung erfordert auch bei konvergierter radialer DGL eine 3D-Analyse. Ein eigener Dickenverlauf wird durch neun Stützstellen mit PCHIP-Interpolation dargestellt; eine Verfeinerung des Integrationsgitters kann zwischen diesen Stützstellen fehlende Merkmale nicht nachbilden. Die voreingestellten 512 Intervalle können unter Erweitert verdoppelt werden. Bei einer Vollscheibe wird die reguläre Grenzlösung bei r/b = 10⁻⁶ initialisiert; der ausgelassene Lastanteil des Kerns ist bei glatten, endlichen Dicken- und Temperaturverläufen vernachlässigbar. Die Feldgrößen werden an den Gitterknoten berechnet; die dargestellten Kurven verwenden diese Knoten, Referenzwerte werden mittels PCHIP abgelesen.

Das Berstkriterium auf Grundlage der mittleren Umfangsspannung setzt eine ausreichende Duktilität zur Spannungsumlagerung voraus; es eignet sich nicht für spröde Werkstoffe, Fehlstellen oder kerbbestimmtes Versagen. Ein Berstfaktor von 1 dient dem idealisierten Vergleich und ist keine validierte Überdrehzahlfreigabe. Die geschätzten Drehzahlen für Fließbeginn oder Bersten stellen keine Freigabe für den Betrieb oder einen Schleuderversuch mit einem Rotor dar. Lokale Spannungen und Aufweitungen oberhalb des ersten Fließbeginns sind elastische Extrapolationen. Thermische Dehnungen lagern lokale Spannungen um, ohne die mittlere Spannungsresultierende einer freien Scheibe zu ändern; eine temperaturbedingte Festigkeitsabnahme wird ausschließlich durch die eingegebenen Festigkeitswerte erfasst. Das Lösen des Schrumpfsitzes wird elastisch abgeschätzt; Fließen der Nabe, axiale Zwängung, Rutschmoment und Reibung werden nicht geprüft. Der Kontaktzustand beschreibt ausschließlich den radialen Kontakt.

Quellenkorrektur: NASA TN D-8304 (1976) ist Kilgores Bericht über einen kryogenen Windkanal und keine Quelle zum Hallinan-Berstverfahren. Das hier verwendete Berstkriterium stützt sich auf NASA SP-8052; der Hallinan-Kontext stammt aus NASA CR-135033. Bruch, plastisches Fließen, Ermüdung, Rotordynamik und Berstschutz werden nicht untersucht.