Balkenrechner: Durchbiegung, Querkraft und Biegemoment

Das Lösungsverfahren wird hier aus den Gleichgewichtsbedingungen und der Euler–Bernoulli-Beziehung $EIy''=M$ hergeleitet, wobei $y$ nach oben positiv ist. Es folgt dem Ansatz mit Macaulay-Klammern und Superposition, erläutert in D. J. Dunn, Deflection of Beams, pp.11–15, sowie den statischen Beziehungen auf der Balkenseite von FIRGELLI.

Bei $langle x-arangle^n$ liefern negative Argumente den Wert null; die nullte Potenz entspricht einer rechtsstetigen Einheitssprungfunktion. Dabei ist $J_n(x)$ die Summe aus den Einzellasttermen $Plangle x-arangle^n/n!$, dem Term der abschnittsweise wirkenden Streckenlast $q[langle x-srangle^{n+1}-langle x-erangle^{n+1}]/(n+1)!$ und dem Eigengewichtsterm $q_{sw}x^{n+1}/(n+1)!$.

Für Festlager + Loslager gelten $M(0)=M(L)=y(0)=y(L)=0$. Für einen Kragträger gelten $y(0)=y'(0)=0$ sowie das Gleichgewicht am freien Ende unter Berücksichtigung einer etwaigen Endlast. Bei beidseitiger Einspannung gilt $y=y'=0$ an beiden Enden. Für den abgestützten Kragträger gelten $y(0)=y'(0)=y(L)=M(L)=0$. Aus diesen Bedingungen ergeben sich die dargestellten Rechenschritte für die Auflagerkräfte und Integrationskonstanten.

Die Balkenlänge wird an den Unstetigkeitsstellen der Belastung in Abschnitte unterteilt. Die exakten Polynomnullstellen von $V=0$ und $y'=0$ sowie sämtliche Abschnittsgrenzen bestimmen die Stellen der betragsmäßig größten Biegemomente und Durchbiegungen. Die Diagramme verwenden 41 Punkte je Abschnitt mit positiver Länge; doppelte Positionswerte erhalten die beiden einseitigen Querkraftwerte an Einzellasten. Die ermittelten Extremwerte sind unabhängig von diesem Darstellungsraster.

Die Querschnittsformeln lauten $I=bh^3/12$ für ein Rechteck und $I=pi D^4/64$ für einen Vollkreis; bei Hohlprofilen wird der Wert der inneren Form abgezogen. Die IPE-Querschnittswerte stammen aus dem Katalog der Plattform und berücksichtigen die Ausrundungen zwischen Steg und Flansch. Die Biegespannung beträgt $sigma_b=|M|_{max}c_{max}/I$. Bei aktivierter Eigengewichtsberücksichtigung gilt $q_{sw}=rho A g$.

• Gerader, prismatischer, homogener Balken mit konstantem $EI$ und Lasten in einer Biegeebene. Keine angreifenden Einzelmomente oder Normalkräfte.
• Ideale Auflager verhindern die jeweils festgelegten Verschiebungen und Neigungen, ohne Auflagersetzungen oder Nachgiebigkeit. Ein Auflager mit negativer Auflagerkraft benötigt eine Abhebesicherung.
• Kleine Neigungen, lineare Elastizität und Ebenbleiben der Querschnitte. Schubverformung und geometrische Steifigkeit werden nicht berücksichtigt.
• Die eingegebene Höhe des Rechteckquerschnitts ist vertikal. Die starke bzw. schwache Achse der IPE-Profile sowie die Ausrichtung des gehobelten 2x4-Kantholzes sind wählbar. Hohlprofile haben idealisierte scharfe Ecken.
• Bei benutzerdefinierten Querschnitten wird die Biegespannung mit dem eingegebenen maximalen Randfaserabstand berechnet; die äußere Querschnittshöhe wird lediglich für die Ausgabe mit $2c_{max}$ angesetzt.
• Die Metallkennwerte stammen aus den Referenztabellen der Plattform. Die Elastizitätsmoduln und Dichten des Holzes im lufttrockenen Versandzustand stammen aus der Tabelle von Oregon State; es handelt sich um beispielhafte Mittelwerte fehlerfreien Holzes, nicht um zulässige Spannungen oder garantierte Steifigkeiten sortierten Bauholzes.
• Die Gleichungen und die Lösung der Lagerungsbedingungen werden hier hergeleitet; die genannten Veröffentlichungen liefern unabhängige Vergleichsrechnungen. Die Skizze ordnet die Lastpfeile in getrennten Bahnen oberhalb des Balkens an und zeigt die überhöhte Biegelinie auf einer eigenen Bezugslinie darunter, sodass nach oben gerichtete Durchbiegungen die Lastbeschriftungen nicht überlagern.

Für Abschätzungen der elastischen Biegung und für Lehrzwecke. Die Warnung bei Länge/Querschnittshöhe < 10 ist ein Hinweis, den Einfluss der Schubverformung zu prüfen; sie ist keine allgemeingültige Genauigkeitsgrenze. Eine Verschiebung von mehr als 2 % der Balkenlänge löst eine Warnung zur Annahme kleiner Durchbiegungen aus; die tatsächlich zulässige Grenze hängt von der Anwendung ab.

Es wird keine Übereinstimmung mit Eurocode, AWC, AISC oder anderen Regelwerken und keine Aussage zur Tragfähigkeit oder sicher aufnehmbaren Last zugesichert. Fließen, Schubversagen, lokales Beulen, Biegedrillknicken, Ermüdung, Torsion, Auflagerpressung, Anschlüsse, Stabilität, Kriechen, Schwingungen, dynamische Vergrößerung, Lastbeiwerte und Einwirkungskombinationen werden nicht überprüft. Holzsortierung, Holzfeuchte, Lasteinwirkungsdauer und Langzeitverformung erfordern eine gesonderte Beurteilung. Die IPE-Abmessungen folgen dem auf EN 10365:2017 beruhenden Katalog der Plattform; dadurch wird die Berechnung nicht zu einem Normnachweis. Prüfen Sie bei der Verwendung von Katalogdaten für ein Projekt die jeweils gültige Norm.

An einer Einzellast im Balkeninneren wird die Querkraft an der Auswertungsstelle rechtsseitig, am rechten Balkenende linksseitig bestimmt. Bei mehreren betragsgleichen Extremwerten wird die zuerst gefundene Position ausgegeben. Die Durchbiegung mit Vorzeichen kann nach oben oder unten gerichtet sein; die Karte für den Maximalwert zeigt stets einen Betrag. Die Gleichgewichtsresiduen enthalten Rundungsfehler der Gleitkommaarithmetik; das auf die Balkenlänge normierte Verschiebungsresiduum am rechten Ende wird auf 12 Nachkommastellen gerundet.